Zadania

6.1. Zadania#

Zadanie 1#

Jurek i Krzysztof działają w kole naukowym. Jurek opuszcza 30% zebrań koła naukowego, a Krzysztof 40% zebrań. W ciągu miesiąca są 4 zebrania koła naukowego.
a) Oblicz prawdopodobieństwo, że Jurek i Krzysztof spotkają się w miesiącu, jeżeli ich decyzje o przyjściu na zebranie w różnych tygodniach są niezależne.
b) Znajdź funkcję prawdopodobieństwa liczby spotkań w miesiącu Jurka i Krzysztofa na zebraniach koła naukowego.
c) Oblicz wartość oczekiwaną liczby spotkań Jurka i Krzysztofa, o których mowa w punkcie b).

Rozwiązanie

Szukam prawdopodobieństwa, że jurek i Krzysztof spotkają się na zebraniu, ponieważ decyzje są niezależne to:

$P = 0.7 \cdot 0.6 = 0.42,$

teraz można korzystać z rozkładu dwumianowego.

a)

Należy obliczyć prawdopodobieństwo, że nie spotkają się ani razu a następnie odjąć od 1:

$P(X > 0) = 1 - P(X = 0)$

import scipy.stats as st
print("Szukane prawdopodobienstwo to: ", 1 - st.binom.pmf(0, 4, 0.42))

b)

Korzystając z rozkładu dwumianowego należu znaleźć kolejno prawdopodobieństwo, że spotkają się 0, 1, 2, 3, 4 razy:

import scipy.stats as st
print("k = 0:", st.binom.pmf(0, 4, 0.42))
print("k = 1:", st.binom.pmf(1, 4, 0.42))
print("k = 2:", st.binom.pmf(2, 4, 0.42))
print("k = 3:", st.binom.pmf(3, 4, 0.42))
print("k = 4:", st.binom.pmf(4, 4, 0.42))

$x_i$	0	1	2	3	4
$p_i$	0.11	0.33	0.36	0.17	0.03

c)

$E(X) = 0 \cdot 0.11 + 1 \cdot 0.33 + 2 \cdot 0.36 + 3 \cdot 0.17 + 4 \cdot 0.03 = 1.68,$

lub korzystając z rozkładu dwumianowego:

$E(X) = np = 4 \cdot 0.42 = 1.68.$

Rozwiązanie w pythonie:

import scipy.stats as st

print("Wartosc oczekiwana: ", st.binom.stats(4, 0.42, moments='m'))
print("Wartosc oczekiwana: ", st.binom.mean(4, 0.42))

Zadanie 2#

Prawdopodobieństwo wygrania w cotygodniowej grze losowej wynosi 0.005, a wielkość wygranej wynosi 10 jednostek pieniężnych.
a) Jurek zagrał pięciokrotnie. Oblicz wartość oczekiwaną łącznej wygranej.
b) Jurek postanowił grać w kolejnych tygodniach aż do momentu pierwszej porażki. Oblicz wartość oczekiwaną łącznej wygranej Jurka.

Zadanie 3#

Liczba huraganów w pewnym rejonie Pacyfiku w ciągu roku jest zmienną losową o rozkładzie Poissona z wartością średnią 5.
a) Oblicz prawdopodobieństwo, że w ciągu roku wystąpią mniej niż 3 huragany.
b) Oblicz prawdopodobieństwo, że w ciągu roku wystąpi huragan.
c) Znajdź wartość średnią i wariancję liczby huraganów w ciągu roku.
d) Znajdź najbardziej prawdopodobną liczbę huraganów.

Zadanie 4#

Liczba polis ubezpieczeniowych, które posiada losowo wybrany mieszkaniec dużego miasta jest zmienną losową $X$. Funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej $X$ przedstawia tabela:

$x_i$	0	1	2	3
$p_i$	0.1	0.3	0.4	c

a) Oblicz stałą c.
b) Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany mieszkaniec miasta ma więcej niż jedną polisę.
c) Znajdź dystrybuantę zmiennej losowej $X$. d) Oblicz wartość oczekiwaną $E(X)$ oraz wariancję $Var(X)$.

Rozwiązanie

a)
Aby dana funkcia była funkcją prawdopodobieństwa to suma $p_i$ musi wynosić 1, stąd:

$c = 1 - (0.1 + 0.3 + 0.4) = 1 - 0.8 = 0.2.$

b)
Prawdopodobieństwo to jest sumą prawdopodobieństw posiadania 2 i 3 polis:

$P(X > 1) = 0.4 + 0.2 = 0.6.$

c)
Należy sumować kolejne prawdopodobieństwa $p_i$:

$x$	$(-\infty, 0]$	$(0,1]$	$(1,2]$	$(2,3]$	$(3, +\infty)$
F(x)	0	0.1	0.4	0.8	1

d)
$E(X) = 0\cdot0.1 + 1\cdot0.3 + 2\cdot0.4 + 3\cdot0.2 = 1.7,$

$\begin{aligned}Var(X) &= (0-1.7)^2\cdot0.1 + (1-1.7)^2\cdot0.3 + (2-1.7)^2\cdot0.4 + \\ &+ (3-1.7)^2\cdot0.2 = \\ &= 0.81. \end{aligned}$

Zadanie 5#

Dla danych z zadania 4 oblicz $E(X|X>0)$, czyli wartość oczekiwaną liczby polis, które posiada losowo wybrana osoba, pod warunkiem, że posiada jakąkolwiek polisę.

Zadanie 6#

Zmienna losowa $X$ oznacza wygraną w pewnej grze losowej. Jej dystrybuanta to funkcja $F(x)$ postaci:

\[\begin{split} F(x) = \begin{cases} 0 & \text{dla $x < 0$,} \\ 0.5 & \text{dla $0 \le x < 100$,} \\ 0.8 & \text{dla $100 \le x < 200$,} \\ 1 & \text{dla $x \ge 200$.} \\ \end{cases} \end{split}\]

a) Oblicz prawdopodobieństwo, że gracz nic nie wygra.
b) Oblicz wartość średnią wygranej $E(X)$.
c) Oblicz wariancję wygranej $Var(X).$

Rozwiązanie

a)
Szukaną wartość można odczytać wprost z dystrybuanty:

$P(X = 0) = 0.5.$

b)
Tutaj należy najpierw znaleźć funkcję prawdopodobieństwa co jest dość łatwe mając dystrybuantę należy odejmować od siebie odpowiednie prawdopodobieństwa:

$x_i$	0	100	200
$p_i$	0.5	0.3	0.2

$E(X) = 0\cdot0.5 + 100\cdot0.3 + 200\cdot0.2 = 70.$

c)
$Var(X) = (0-70)^2\cdot0.5 + (100-70)^2\cdot0.3 + (200-70)^2\cdot0.2 = 6100.$

Zadanie 7#

Niech $Y=0.9X-10$, gdzie $X$ jest zmienną losową z zadania 6.
a) Oblicz wartość oczekiwaną $E(Y)$.
b) Oblicz wariancję $Var(Y)$.
c) Wyznacz funkcję prawdopodobieństwa $f_Y$ zmiennej losowej $Y$.
d) Wyznacz dystrybuantę $F_Y$ zmiennej losowej $Y$.
e) Narysuj wykres funkcji $F_Y(y)$.

Rozwiązanie

Skorzystam z własności wartości oczekiwanej i wariancji.

a)
$E(Y) = E(0.9X-10) = 0.9E(X) - 10 = 0.9\cdot70 - 10 = 53.$

b)
$Var(Y) = Var(0.9X-10) = 0.9^2\cdot Var(X) = 0.9^2 \cdot 6100 = 4941.$

c)

$y_i$	-10	80	170
$p_i$	0.5	0.3	0.2

d)

$ F_Y(y) = \begin{cases} 0 & \text{dla } x \le -10, \\ 0.5 & \text{dla } -10 < x \le 80, \\ 0.8 & \text{dla } 80 < x \le 170, \\ 1 & \text{dla } x > 170. \\ \end{cases} $

e)

Zadanie 8#

Zmienna losowa $X$ ma funkcję prawdopodobieństwa daną w postaci tabeli:

$x_i$	-2	-1	0	3
$p_i$	0.1	0.2	0.1	0.6

Niech zmienna losowa $Y=X^2-1$.
a) Oblicz wartość oczekiwaną $E(Y)$.
b) Oblicz $P(Y>0)$.
c) Znajdź funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y.

Rozwiązanie

a)
$E(Y) = E(X^2 - 1) = E(X^2) - 1,$

$E(X^2) = \sum\limits_{i=1}^n x_i^2 p_i,$

$E(X^2) = 4\cdot0.1 + 1\cdot0.2 + 0\cdot0.1 + 9\cdot0.6 = 6,$

$E(Y) = E(X^2 - 1) = E(X^2) - 1 = 6 - 1 = 5.$

b)

$P(Y>0) = P(X^2-1>0) = P(X^2>1)$

Teraz trzeba znaleźć zmienną losową $X^2$:

$x_i^2$	4	1	0	9
$p_i$	0.1	0.2	0.1	0.6

$P(X^2>1) = 0.1 + 0.6 = 0.7$

c)

$y_i$	3	0	-1	8
$p_i$	0.1	0.2	0.1	0.6

Zadanie 9#

Załóżmy, że prawdopodobieństwo, że losowo wybrany łabędź ma wirusa typu H5 wynosi 0.001. Oblicz przybliżone prawdopodobieństwo, że wśród 500 losowo wybranych łabędzi znajdą się 2 z tym wirusem.

Zadanie 10#

Z urny zawierającej 3 kule białe i 6 czarnych losowo wyjęto dwie. Niech wartością zmiennej losowej $X$ będzie liczba wyjętych kul białych. Znaleźć funkcje prawdopodobieństwa i dystrybuantę zmiennej $X$ oraz obliczyć jej wariancje.

Rozwiązanie

Korzystając z prawdopodobieństwa całkowitego można obliczyć prawdopodobieństwa wyjęcia 0, 1 lub 2 kul białych:

$P(X = 0) = \frac{6}{9} \cdot \frac{5}{8} = \frac{5}{12},$

$P(X = 1) = \frac{3}{9} \cdot \frac{6}{8} + \frac{6}{9} \cdot \frac{3}{8}= \frac{1}{2},$

$P(X = 2) = \frac{3}{9} \cdot \frac{2}{8} = \frac{1}{12}.$

Funkcja prawdopodobieństwa:

$x_i$	0	1	2
$p_i$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{12}$

Dystrybuanta:

x	$(-\infty, 0]$	$(0,1]$	$(1,2]$	$(2, +\infty)$
F(x)	0	$\frac{5}{12}$	$\frac{11}{12}$	1

Wariancja:

$E(X) = \frac{1}{2} + 2\cdot\frac{1}{12} = \frac{2}{3},$

$E(X^2) = \frac{1}{2} + 4\cdot\frac{1}{12} = \frac{5}{6},$

$Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 = \frac{5}{6} - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{7}{18} \approx 0.39.$

Zadanie 11#

Rozkład zmiennej losowej skokowej $X$ przedstawia tabela:

$x_i$	1	$a$	3	4
$p_i$	0.1	0.4	0.3	$b$

Wiadomo, że $E(X) = \frac{13}{5}$. Wyznaczyć $a$ i $b$ oraz obliczyć $D(X)$.

Zadanie 12#

Dana jest dystrybuanta zmiennej losowej skokowej X:

$x$	$(−\infty, 0]$	$(0, 1]$	$(1, 2]$	$(2, 3]$	$(3, 4]$	$(4,+\infty)$
$F(x)$	0	0.12	0.44	0.62	0.78	1

a) Wyznaczyć jej funkcje rozkładu prawdopodobieństwa.
b) Obliczyć $E(X)$ oraz $D(X)$.
c) Obliczyć $P(1 < X \le 3)$, $P(X = 0.5)$, $P(X > 5)$.

Rozwiązanie

a)

$x_i$	0	1	2	3	4
$p_i$	0.12	0.32	0.18	0.16	0.22

b)
$E(X) = 1\cdot0.32 + 2\cdot0.18 + 3\cdot0.16 + 4\cdot0.22 = 2.04,$

$E(X^2) = 1\cdot0.32 + 4\cdot0.18 + 9\cdot0.16 + 16\cdot0.22 = 6,$

$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 = \sqrt{6 - 2.04^2} \approx 1.36.$

c)
$P(1 < X \le 3) = P(X=2) + P(X=3) = 0.18 + 0.16 = 0.34,$

lub

$P(1 < X \le 3) = P(X \le 3) - P(X \le 1) = 0.78 - 0.44 = 0.34,$

$P(X = 0.5) = 0,$

bo nie ma takiego punktu,

$P(X > 5) = 0,$

bo również nie ma takiego punktu.

Zadanie 13#

Rzucamy 5 razy moneta. Niech zmienna losowa $X$ przyjmuje wartości równe liczbie wyrzuconych reszek. Znaleźć rozkład $X$ oraz obliczyć $Var(X)$.

Zadanie 14#

W partii składającej się z 6 detali znajdują się 4 detale standardowe. Losowo wybrano 3 detale. Znaleźć rozkład dyskretnej zmiennej losowej $X$ − liczby standardowych detali wśród wybranych. Obliczyć $E(X)$ i $Var(X)$.

Zadanie 15#

W urnie znajduje się 8 kul, 3 białe i 5 czarnych. Wyciągamy losowo 3 kule. Niech zmienna losowa $X$ przyjmuje wartości równe liczbie wylosowanych kul czarnych. Znaleźć funkcję rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej $X$.

Zadanie 16#

Zmienna losowa $X$ ma rozkład Poissona z parametrem $\lambda = 3$. Obliczyć $P(X \ge 3)$.

Zadanie 17#

Zmienna losowa $X$ ma rozkład dwumianowy z wartością oczekiwaną 40 i wariancją 30. Znaleźć $n$ i $p$.

Zadanie 18#

Zmienna losowa $X$ ma rozkład Poissona z parametrem $\lambda = 2$. Znaleźć wariancję zmiennej losowej $Z = 2X − 3$.

Zadanie 19#

Zmienna losowa $Z$ ma rozkład dwumianowy z parametrami $n = 10$, $p = \frac{1}{3}$. Obliczyć $P(Z > 2)$.

Zadanie 20#

Rozkład zmiennej losowej skokowej $X$ przedstawia tabela:

$x_i$	10	a	30	40	50
$p_i$	0.1	0.2	0.3	0.3	b

Wiadomo, że $E(X) = 31$. Wyznaczyć $a$ i $b$ oraz obliczyć $Var(X)$.

Zadanie 21#

Zmienna losowa $Y$ ma rozkład Bernoulliego z parametrami $n = 900$, $p = 0.1$. Znaleźć odchylenie standardowe zmiennej losowej $X = 3Y + 2$.

Zadanie 22#

Dwie rozróżnialne sześcienne kostki do gry rzucamy jednocześnie. Zmienna losowa X przyjmuje wartości równe wartości bezwzględnej różnicy oczek. Znaleźć:
a) rozkład zmiennej X,
b) medianę oraz dominantę zmiennej X.

Rozwiązanie

a)

Najlepiej narysować tabelkę i odejmować kolejne oczka od siebie.

$|\Omega| = 6\cdot6=36$

$x_i$	0	1	2	3	4	5
$p_i$	$\frac{6}{36}$	$\frac{10}{36}$	$\frac{8}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{2}{36}$

b)
Mediana $Me$ to liczba $x_i$ spełniająca poniższe równanie:

$P((-\infty, x_i]) \ge \frac{1}{2},$

$P((-\infty, 2]) = \frac{6}{36} + \frac{10}{36} + \frac{8}{36} = \frac{24}{36} \ge \frac{1}{2},$

$Me = 2.$

Dominanta $Dom$ to wartość zmiennej losowej, której prawdopodobieństwo wystąpienia jest największe:

$Dom = 1.$

Zadanie 23#

Na drodze ruchu pociągów znajdują się w znacznej odległości od siebie 4 semafory, z których każdy (wobec znacznej odległości niezależnie od innych) zezwala na przejazd z prawdopodobieństwem $p = 0.8$. Niech $X$ oznacza liczbę semaforów zezwalających na przejazd i poprzedzających pierwsze zatrzymanie lub stację docelową. Znaleźć:
a) funkcje prawdopodobieństwa zmiennej losowej $X$,
b) momenty centralne rzędu pierwszego, drugiego i trzeciego zmiennej $X$,
c)$P(X > 2)$, $P(X = 3)$, $P(0 < X \le 4)$.

Zadanie 24#

Zmienna losowa $X$ przyjmuje trzy wartości: 0, 1 i 2. Wiadomo, ze $E(X)=1$ oraz $E(X^2) =1.5$. Wyznaczyć rozkład zmiennej $X$.

Rozwiązanie

$\begin{cases} 1 = p_1 + 2p_2 \\ 1.5 = p_1 + 4p_2 \end{cases}$

$\begin{cases} p_1 = 1 - 2p_2 \\ 1.5 = 1 - 2p_2 + 4p_2 \end{cases}$

$\begin{cases} p_2 = 0.25 \\ p_1 = 0.5 \end{cases}$

$p_0 = 1- 0.5 - 0.25 = 0.25$

Rozkład zmiennej $X$:

$x_i$	0	1	2
$p_i$	0.25	0.5	0.25

Zadanie 25#

Z grupy 3 mężczyzn i 5-ciu kobiet losowo wybrano 2-osobowy zarząd. Niech wartością zmiennej losowej $X$ będzie liczba kobiet w zarządzie. Znaleźć funkcje rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej $X$ oraz wyznaczyć medianę i dominantę.

Rozwiązanie

$|\Omega| = {8 \choose 2} = 28$

$P(X = 0) = \frac{ {5 \choose 0} \cdot {3 \choose 2} }{28} \approx 0.11$

$P(X = 1) = \frac{ {5 \choose 1} \cdot {3 \choose 1} }{28} \approx 0.54$

$P(X = 2) = \frac{ {5 \choose 2} \cdot {3 \choose 0} }{28} \approx 0.36$

Funkcje rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej $X$:

$x_i$	0	1	2
$p_i$	0.11	0.54	0.36

$P((-\infty, x_i]) \ge \frac{1}{2},$

$Me = 1,$

$Dom = 1.$

Zadanie 26#

W pewnym drzewostanie zebrano informacje o liczbie nabiegów korzeniowych:

$x_i$	0	1	2	3	4
$p_i$	0.1	0.3	0.3	0.2	0.1

Niech $X$ oznacza liczbę nabiegów korzeniowych w losowo wybranym drzewie.
a) Znaleźć dystrybuantę zmiennej $X$.
b) Obliczyć $E(X)$ oraz $Var(X)$.
c) Obliczyć $P(X > 2)$, $P(1 \le X \le 4)$.

Rozwiązanie

a)

$x$	$(−\infty, 0]$	$(0, 1]$	$(1, 2]$	$(2, 3]$	$(3, 4]$	$(4,+\infty)$
$F(x)$	0	0.1	0.4	0.7	0.9	1

b)

def expected_value(x, p):
  result = 0
  for i, j in zip(x, p):
    result += i*j

  return result

def central_moment(x, p, ev, k):
  result = 0
  for i, j in zip(x, p):
    result += j*(i - ev)**k
  
  return result

x = [0, 1, 2, 3, 4]
p = [0.1, 0.3, 0.3, 0.2, 0.1]
ev = expected_value(x, p)

print("Wartosc oczekiwana:", ev)
print("Wariancja:", central_moment(x, p, ev, 2))

c)
$P(X > 2) = 0.3$,

$P(1 \le X \le 4) = 0.9.$

Zadanie 27#

W partii złożonej z 10 produktów znajdują się 3 produkty wadliwe. Wybrano losowo 2 produkty. Znaleźć rozkład liczby produktów wadliwych (wśród wybranych), dystrybuantę i wartość oczekiwana.

Rozwiązanie

$|\Omega| = {10 \choose 2} = 28,$

$P(X = 0) = \frac{ {3 \choose 0} \cdot {7 \choose 2} }{45} \approx 0.47,$

$P(X = 1) = \frac{ {3 \choose 1} \cdot {7 \choose 1} }{45} \approx 0.47$

$P(X = 2) = \frac{ {3 \choose 2} \cdot {7 \choose 0} }{45} \approx 0.07$

Funkcje rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej $X$:

$x_i$	0	1	2
$p_i$	0.47	0.47	0.07

Dystrybuanta:

$x$	$(−\infty, 0]$	$(0, 1]$	$(1, 2]$	$(2, +\infty]$
$F(x)$	0	0.47	0.93	1

Wartość oczekiwana:

$E(X) = 0.47 + 2 \cdot 0.07 = 0.61.$

Zadanie 28#

Prawdopodobieństwo zajścia pewnego zdarzenia w pojedynczej próbie jest równe $p$. Próby przeprowadzane są dopóty, dopóki zdarzenie zajdzie. Znaleźć rozkład liczby przeprowadzonych prób oraz $E(X)$.

Zadanie 29#

Rzucamy moneta aż do pierwszego wypadnięcia orła. Niech $X$ oznacza liczbę rzutów. Znaleźć rozkład $X$, dystrybuantę oraz $E(X)$.

Zadanie 30#

Dana jest funkcja prawdopodobieństwa pewnej zmiennej $X$:

$x_i$	-5	-2	0	1	3	8
$p_i$	0.1	0.2	0.1	0.2	c	0.1

Wyznaczyć:
a) stałą $c$,
b) dystrybuantę,
c) $E(X)$, $Var(X)$, $D(X)$,
d) $P(X < 0)$, $P(X \le 0)$, $P(X < 4)$, $P(X \le 4)$, $P(−2 \le X < 4)$, $P(X = 2)$, $P(X = 3)$, $P(−6 < X \le 0)$, $P(1 < X \le 8)$.

Rozwiązanie

a)

$c = 1 - 0.1 - 0.2 - 0.1 - 0.2 - 0.1 = 0.3$

b)

$x$	$(\infty,-5]$	$(-5,-2]$	$(-2, 0]$	$(0,1]$	$(1,3]$	$(3,8]$	$(8, +\infty)$
$F(x)$	0	0.1	0.3	0.4	0.6	0.9	1

c)

$E(X) = (-5)\cdot0.1 + (-2)\cdot0.2 + 0.2 + 3\cdot0.3 + 8\cdot0.1 = 1,$

$E(X^2) = 25\cdot0.1 + 4\cdot0.2 + 0.2 + 9\cdot0.3 + 64\cdot0.1 = 12.6,$

$Var(X) = 12.6 - 1^2 = 11.6,$

$D(X) \approx 3.406.$

d)

$P(X < 0) = 0.3,$

$P(X \le 0) = 0.4,$

$P(X < 4) = 0.9,$

$P(X \le 4) = 0.9,$

$P(−2 \le X < 4) = 0.8,$

$P(X = 2) = 0,$

$P(X = 3) = 0.3,$

$P(−6 < X \le 0) = 0.4,$

$P(1 < X \le 8) = 0.4.$

Zadanie 31#

Dana jest dystrybuanta pewnej zmiennej losowej $X$:

\[\begin{split} F(x) = \begin{cases} 0 & \text{dla } x \le 2, \\ 0.3 & \text{dla } 2 < x \le 4, \\ 0.7 & \text{dla } 4 < x \le 6, \\ 0.9 & \text{dla } 6 < x \le 7, \\ 1 & \text{dla } x > 7. \\ \end{cases} \end{split}\]

Wyznaczyć rozkład, obliczyć $E(X)$, $Var(X)$, $D(X)$, $P(X > 1)$, $P(X \ge 0.5)$, $P(−1 < X < 2)$, $P(X \ge 7)$.

Rozwiązanie

$x_i$	2	4	6	7
$p_i$	0.3	0.4	0.2	0.1

$E(X) = 2\cdot0.3 + 4\cdot0.4 + 6\cdot0.2 + 7\cdot0.1 = 4.1,$

$E(X^2) = 4\cdot0.3 + 16\cdot0.4 + 36\cdot0.2 + 49\cdot0.1 = 19.7,$

$Var(X) = 19.7 - 4.1^2 = 2.89,$

$D(X) = \sqrt{2.89} = 1.7,$

$P(X > 1) = 1,$

$P(X \ge 0.5)= 1,$

$P(−1 < X < 2) = 0,$

$P(X \ge 7) = 0.1.$

Zadanie 32#

Gramy z druga osobą, na przykład z bankierem w następująca grę: jeśli w rzucie kostka wypadnie parzysta liczba oczek, bankier płaci nam tyle złotych, ile wypadło na kostce, a jeśli nieparzysta - my płacimy bankierowi tyle, ile wypadło na kostce. Znaleźć rozkład kwoty uzyskanej przez nas w pojedynczym rzucie. Obliczając jej wartość oczekiwana rozstrzygnąć, czy można przypuszczać, że gra będzie dla nas opłacalna.

Rozwiązanie

$x_i$	-5	-3	-1	2	4	6
$p_i$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

$E(X) = \frac{1}{2}.$

Możemy przypuszczać, że gra jest dla nas opłacalna.

Zadanie 33#

Wśród wszystkich dzieci szkolnych z pewnego województwa przeprowadzono ankietę: ile razy byłeś na wakacjach w ciągu ostatnich 4 lat. 20% odpowiedziało 0 razy, 14% − 1 raz, 43% − 2 razy, 19 % − 3, a reszta − 4. Zmienna $X$ jest określona jako: liczba wyjazdów na wakacje w ciągu ostatnich 4 lat. Znaleźć jej rozkład, obliczyć $E(X)$, $Var(X)$, $P(X > 3)$, $P(X \le 1)$, $P(0 \le X \le 4)$.

Rozwiązanie

$x_i$	0	1	2	3	4
$p_i$	0.2	0.14	0.43	0.19	0.04

$E(X) = 1.73,$

$E(X^2) = 4.21,$

$Var(X) = 4.21 - 1.73^2 = 1.2171,$

$P(X > 3) = 0.04,$

$P(X \le 1) = 0.34,$

$P(0 \le X \le 4) = 1.$

Zadanie 34#

Prawdopodobieństwo urodzenia się dziewczynki w pewnej populacji wynosi 0.51. W zbiorze rodzin posiadających troje dzieci określamy zmienna $X$ − liczba dziewczynek w rodzinie. Znaleźć rozkład $X$, obliczyć prawdopodobieństwo, że w rodzinie z trójką dzieci jest co najmniej jeden chłopiec.

Rozwiązanie

Korzystam z rozkładu dwumianowego:

import scipy.stats as st

for i in range(4):
  print(f"k = {i}:", st.binom.pmf(i, 3, 0.51))

Rozkłada prawdopodobieństwa:

$x_i$	0	1	2	3
$p_i$	0.118	0.367	0.382	0.132

Prawdopodobieństwo tego, że w rodzinie będzie co najmniej jeden chłopiec jest równe prawdopodobieństwu tego, że będzie mniej niż 3 dziewczynki:

$P(X < 3) = 0.867.$

Zadanie 35#

Zmienna losowa $X$ ma rozkład Poissona z parametrem $\lambda = 2$. Wyznaczyć kwartyle zmiennej $X$.

Zadanie 36#

Korzystając z własności wartości oczekiwanej zmiennej losowej $X$ wykazać, że $Var(X) = E(X^2) − [E(X)]^2$.

Zadania

Contents

6.1. Zadania#

Zadanie 1#

Zadanie 2#

Zadanie 3#

Zadanie 4#

Zadanie 5#

Zadanie 6#

Zadanie 7#

Zadanie 8#

Zadanie 9#

Zadanie 10#

Zadanie 11#

Zadanie 12#

Zadanie 13#

Zadanie 14#

Zadanie 15#

Zadanie 16#

Zadanie 17#

Zadanie 18#

Zadanie 19#

Zadanie 20#

Zadanie 21#

Zadanie 22#

Zadanie 23#

Zadanie 24#

Zadanie 25#

Zadanie 26#

Zadanie 27#

Zadanie 28#

Zadanie 29#

Zadanie 30#

Zadanie 31#

Zadanie 32#

Zadanie 33#

Zadanie 34#

Zadanie 35#

Zadanie 36#