8. Funkcje charakterystyczne

Funkcją charakterystyczną zmiennej losowej \(X\) nazywamy wartość oczekiwaną funkcji \(e^{itX}\), gdzie \(t\) jest zmienną rzeczywistą, a \(i\) - tzw. jednostką urojoną; oznaczmy tę funkcję przez \(\phi(t)\):

\[\forall_{t \in \mathbb{R}} \phi(t) = E(e^{itX}).\]

Korzystając z definicji wartości oczekiwanej można zapisać:

\[\begin{split}\phi(t) = \begin{cases} \sum\limits_{k}p_ke^{itx_k} & \text{dla zm los. dyskretnej o rozkładzie } P(X = x_k) = p_k, \text{gdzie } \sum_k p_k = 1, \\ \int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{itx}f(x)dx & \text{dla zm. los. typu ciągłego o gęstości } f. \\ \end{cases}\end{split}\]

Wzór I

Przy założeniu istnienia skończonej całki \(\int_{-\infty}^\infty |\phi(t)| dt\), zachodzi wzór:

\[f(x)=F'(x) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^\infty e^{-itx}\phi(t)dt.\]

Wzór II

Jeśli funkcja charakterystyczna ma okres \(2\pi\), to przyjmuje tylko wartości całkowite:

\[\forall_{k \in \mathbb{Z}}p_k = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi e^{-itk}\phi(t)dt,\]

gdzie \(p_k = P(X = k)\) dla \(k = 0, \pm1, \pm2,...,\) oraz \(\sum_{k}p_k=1,\) przy czym nie wszystkie \(p_k\) muszą być dodatnie.

Twierdzenie I

Wygodnie jest używać funkcji charakterystycznych do badania rozkładów bo zachodzą następujące zależności:

1. Jeżeli istnieje k-ty moment zmiennej losowej \(X\) o funkcji charakterystycznej \(\phi\), to \(\phi\) jest k-krotnie różniczkowalna (w sposób ciągły) i zachodzi związek:

   \[E(X^k) = \frac{1}{i^k}\phi^{(k)}(0)\]

   oraz jeśli można rozwinąć \(\phi(t)\) w szereg Maclaurina, to:

   \[\phi(t) = \sum_{k=0}^\infty a_k t^k,\]

   gdzie:

   \[a_k = \frac{\phi^{(k)}(0)}{k!}.\]

   Dowolny moment zwykły można policzyć z wzoru:

   \[E(X^k) = \frac{a_kk!}{i^k}.\]

2. Funkcja charakterystyczna sumy dowolnej skończonej liczby niezależnych zmiennych losowych równa się iloczynowi funkcji charakterystycznych tych zmiennych.

Wzór III

Funkcja charakterystyczna funkcji zmiennej losowej \(Y = g(X)\) jest postaci:

\[\begin{split}\phi(t) = \begin{cases} \sum\limits_{k}p_ke^{itg(x_k)} & \text{dla zmiennej losowej dyskretnej o rozkładzie } p_k = P(X = x_k), \\ \int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{itg(x)}f(x)dx & \text{dla zmiennej losowej typu ciągłego o gęstości } f. \\ \end{cases}\end{split}\]

Tabela z funkcjami charakterystycznymi poszczególnych rozkładów:

Nazwa rozkładu	Rozkład prawdopodobieństwa	Funkcja charakterystyczna
dwumianowy	\(p_k = {n\choose k}p^kq^{n-k},\) \(k=0,1,...,n\) \(p, q > 0,\) \(p+q=1\)	\(\phi(t) = (pe^{it}+q)^n\)
ujemny dwumianowy	\(p_k = {k-1\choose \nu-1}p^\nu q^{k-\nu},\) \(k = \nu, \nu + 1,...\) \(p, q >0,\) \(p+q=1,\) \(\nu \in \mathbb{N}\)	\(\phi(t) = (\frac{pe^{it}}{1-qe^{it}})^\nu\)
Poissona	\(p_k = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!},\) \(k\in\mathbb{N_0},\) \(\lambda > 0\)	\(\phi(t)=\exp[\lambda(e^{it}-1)]\)
jednostajny	\(f(x) = \frac{1}{b-a},\) \(a < x < b\)	\(\phi(t) = \frac{1}{b-a}\frac{e^{itb}-e^{ita}}{it}\)
normalny	\(f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}],\) \(\sigma>0,\) \(\mu\in\mathbb{R}\)	\(\phi(t) = \exp(i\mu t - \frac{\sigma^2t^2}{2})\)
gamma	\(f(x)=\frac{1}{\lambda^p\Gamma(p)}x^{p-1}\exp(-\frac{x}{\lambda}),\) \(x, \lambda, p > 0\)	\(\phi(t)=\frac{1}{(1-i\lambda t)^p}\)
Laplace’a	\(f(x) = \frac{1}{2}e^{-|x|}\)	\(\phi(t)=\frac{1}{1+t^2}\)
Cauchy’ego	\(f(x)=\frac{\lambda}{\pi[\lambda^2+(x-\mu)^2]},\) \(\lambda>0,\) \(\mu\in\mathbb{R}\)	\(\phi(t) = e^{i\mu t-\lambda |t|}\)
wykładniczy	\(f(x)=\frac{1}{\lambda}\exp(-\frac{x}{\lambda}),\) \(x>0\)	\(\phi(t) = \frac{1}{1-i\lambda t}\)