Zadania

3.1. Zadania#

Zadanie 1#

50% uczniów ma w domu komputer. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród 7-miu losowo wybranych uczniów:
a) 5-ciu ma w domu komputer,
b) co najmniej dwóch uczniów na w domu komputer.

Rozwiązanie

a)
\(P_7(5) = {7 \choose 5}0.5^5(1-0.5)^2 = \frac{21}{128} \approx 0.16\)

b)
Można to łatwo obliczyć odejmując od 1 sumę prawdopodobieństw tego że 0 lub 1 uczeń będzie miał komputer.

Rozwiązanie w pythonie używając funkcji gęstości prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego (Bernoulliego):

import scipy.stats as st

p = 1 - st.binom.pmf(0, 7, 0.5) - st.binom.pmf(1, 7, 0.5)
print('Szukane prawdopodobieństwo:', p)

Zadanie 2#

Firma zakupiła 3 drukarki. Prawdopodobieństwo awarii drukarki w okresie gwarancji wynosi 0.1. Oblicz prawdopodobieństwo, że:
a) żadna z trzech drukarek pracujących nie ulegnie awarii, b) nie więcej niż 2 drukarki ulegną awarii.

Rozwiązanie
import scipy.stats as st

# a)
p_a = st.binom.pmf(0, 3, 0.1)
print('Szukane prawdopodobieństwo w a):', p_a)

# b)
p_b = 1 - st.binom.pmf(3, 3, 0.1) - st.binom.pmf(0, 3, 0.1)
print('Szukane prawdopodobieństwo w b):', p_b)

Zadanie 3#

Dziesięciu wyborowych strzelców celuje do lecącego samolotu. Prawdopodobieństwo trafienia samolotu dla każdego z nich jest stałe i wynosi p. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, ze samolot zostanie trafiony (niekoniecznie 1 raz).

Rozwiązanie

Należy obliczyć prawdopodobieństwo, że samolot nie zostanie trafiony i odjąc je od 1:

\(P = 1 - {10 \choose 0} p^0 (1 - p)^{10} = 1 - (1 - p)^{10}\)

Zadanie 4#

Rzucamy 5 razy moneta symetryczna. Jakie jest prawdopodobieństwo trzykrotnego wyrzucenia orła?

Rozwiązanie
import scipy.stats as st

p = st.binom.pmf(3, 5, 0.5)
print('Szukane prawdopodobieństwo:', p)

Zadanie 5#

Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A w każdym doświadczeniu jest równe 0.2. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w ciągu 9 niezależnych doświadczeń zdarzenie A zajdzie 6 razy w dowolnej kolejności.

Rozwiązanie
import scipy.stats as st

p = st.binom.pmf(6, 9, 0.2)
print('Szukane prawdopodobieństwo:', p)

Zadanie 6#

Prawdopodobieństwo trafienia do tarczy w pojedynczym strzale wynosi 0.25. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na 6 strzałów 2 będą trafione?

Rozwiązanie
import scipy.stats as st

p = st.binom.pmf(2, 6, 0.25)
print('Szukane prawdopodobieństwo:', p)

Zadanie 7#

Rzucamy trzykrotnie symetryczna moneta. Niech zdarzenie \(A\) polega na tym, ze wypadła co najmniej jedna reszka, a zdarzenie \(B\), ze wypadły same reszki. Znaleźć \(P(A \cup B)\) oraz \(P(A \cap B)\).

Rozwiązanie

Obliczam \(P(A)\) czyli różnicę 1 i tego, że wypadły 3 orły:

\(P(A) = 1 - {3 \choose 3} 0.5^{3} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}.\)

Obliczam \(P(B)\):

\(P(A) = {3 \choose 3} 0.5^{3} = \frac{1}{8}.\)

Ponieważ w zbiorze \(B\) znajdują się jedno zdarzenie elementarne składające się z samych reszek a w zbiorze \(A\) również jest takie zdarzenie to:

\(P(A \cap B) = P(B) = \frac{1}{8},\)

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{7}{8} +\frac{1}{8} - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}.\)

Zadanie 8#

Zmienna losowa \(X\) ma rozkład \(B(50, 0.1)\). Obliczyć \(P(X = 5)\). Wynik dokładny porównać z wartością przybliżoną uzyskaną z prawa małych liczb Poissona.

Rozwiązanie
import scipy.stats as st

p_b = st.binom.pmf(5, 50, 0.1)
print('Szukane prawdopodobieństwo:', p_b)

p_p = st.poisson.pmf(5, 0.1*50)
print('Prawo małych liczb:', p_p)
Contents