Zadania

5.1. Zadania#

Zadanie 1#

Z jednej z trzech urn wylosowano jedną kulę. W urnie I są 4 kule białe i 1 kula czarna, w urnie II są 2 kule białe i 3 kule czarne, a w urnie III są 4 kule białe i 2 kule czarne. Prawdopodobieństwo wybrania do losowania urny I wynosi 3/10, urny II 2/10, a urny III 5/10. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana kula jest biała.

Zadanie 2#

Z jednej z dwóch urn wylosowano bez zwracania 2 kule. W urnie I są 4 kule białe i 3 kule czarne, a w urnie II jest 5 kul białych i 4 kule czarne. Prawdopodobieństwo wybrania do losowania urny I wynosi 1/3. Oblicz prawdopodobieństwo, że:
a) wylosowano 2 kule czarne,
b) kule są różnych kolorów,
c) wśród kul jest kula biała.

Zadanie 3#

W konferencji naukowej bierze udział 80% mężczyzn i 20% kobiet. Wśród kobiet jest 60% matematyczek i 40% informatyczek, a wśród mężczyzn jest 30% matematyków i 70% informatyków. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba jest matematykiem.

Zadanie 4#

Towarzystwo ubezpieczeniowe sprzedaje 3 rodzaje pilis: typu A, B, C. Za określony okres ubezpieczenia towarzystwo wystawiło 30% polis typu A, 40% polis typu B, 30% polis typu C. Prawdopodobieństwo wygenerowania szkody przez losowo wybraną polisę określonego typu wynoszą: \(p_A = 0.1\), \(p_B = 0.05\), \(p_C = 0.1\).
a) Oblicz prawdopodobieństwo roszczenia z losowo wybranej polisy.
b) Wybrany losowo właściciel polisy miał szkodę. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że posiadał on polisę typu A.

Zadanie 5#

Przed konkursem ogłoszono listę 200 pytań z dziedziny \(D_1\), 100 pytań z dziedziny \(D_2\) oraz 100 pytań z dziedziny \(D_3\). Umiemy odpowiedzieć na 150 pytań z dziedziny \(D_1\), na wszystkie pytania z dziedziny \(D_2\) oraz na 80 pytań z dziedziny \(D_3\). Jakie jest prawdopodobieństwo, ze podczas konkursu odpowiemy na losowo zadane pytanie?

Zadanie 6#

W magazynie znajdują się żarówki pochodzące z dwóch fabryk. 6% pochodzi z fabryki I. Wśród żarówek z fabryki I jest 1% wadliwych, a spośród żarówek z fabryki II 2% wadliwych. Z magazynu pobrano losowo jedna żarówkę, która okazała się wadliwa. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że ta żarówka została wyprodukowana przez fabrykę II?

Zadanie 7#

Fabryka chemiczna jest wyposażona w system alarmowy. W razie zagrożenia system alarmowy działa w 95% przypadków. Prawdopodobieństwo, że system włączy się, gdy nie ma żadnego zagrożenia jest równe 0.02. Rzeczywiste zagrożenie zdarza się rzadko − jego prawdopodobieństwo wynosi 0.004. Gdy odzywa się system alarmowy, jakie jest prawdopodobieństwo, że naprawdę istnieje zagrożenie?

Zadanie 8#

Około 10% studentów i 15% studentek pali papierosy. Z populacji liczącej 50 studentów i 100 studentek wylosowano osobę palącą papierosy. Obliczyć prawdopodobieństwo, że nie jest to mężczyzna.

Zadanie 9#

Wiadomo, że 55% mężczyzn i 70% kobiet nie zdaje egzaminu praktycznego na prawo jazdy za pierwszym razem. Wybrana losowo osoba nie zdała egzaminu. Zakładając, że liczba zdających egzamin kobiet i mężczyzn była taka sama, obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wybrana osoba jest kobietą.

Zadanie 10#

Dane są trzy urny. W pierwszej urnie są 3 kule białe i 1 czarna, w drugiej 4 białe i 2 czarne, w trzeciej 2 białe i 2 czarne. Zakładając, że wylosowanie kuli z każdej urny jest jednakowo prawdopodobne, obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowana kula, która okazała się koloru białego pochodzi z urny pierwszej.

Zadanie 11#

Na egzaminie z matematyki 40% stanowią zadania z algebry, 30% − zadania z geometrii, natomiast pozostałe − to zadania z rachunku prawdopodobieństwa. Wśród tych zadań łatwe stanowią odpowiednio: 1%, 2%, i 3%. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że jeśli losowo wybrane zadanie jest trudne, to jest zadaniem z rachunku prawdopodobieństwa.

Zadanie 12#

Długoletnie doświadczenia wskazują na to, że część pisemna pewnego egzaminu jest istotnie trudniejsza − 60% zdających, od części ustnej − 95% zdających. Aby zdać egzamin, trzeba pozytywnie zaliczyć obie części, obowiązuje przy tym zasada, że student, który nie zaliczył części pisemnej, nie jest dopuszczony do części ustnej. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że osoba, która nie zdała egzaminu, nie zaliczyła części pisemnej.

Zadanie 13#

Firma poszukująca złóż ropy naftowej zamówiła test sejsmiczny w celu ustalenia, czy jest prawdopodobne, że w pewnym rejonie wierceń znajdują się złoża. Znana jest wiarygodność testu: jeżeli w miejscu wiercenia ropa występuje, test wskazuje to w 85% przypadków, jeżeli ropy nie ma, test omyłkowo wykazuje jej występowanie w 10% przypadków. Firma poszukująca złóż jest przekonana, ze prawdopodobieństwo wystąpienia ropy w badanym terenie wynosi 0.4. Jeżeli test wykazał występowanie ropy, jakie jest prawdopodobieństwo, że w badanym terenie ropa rzeczywiście występuje?

Zadanie 14#

Do eliminacji sportowych na uczelni wybrano z I roku 4 studentów, z II − 6, a z III − 5 studentów. Prawdopodobieństwo, że student I roku dostanie się do drużyny uczelnianej wynosi 0.9, dla II i III roku jest one równe 0.7 i 0.8.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany student z lat I − III dostanie się do drużyny uczelnianej?
b) Pewien student dostał się do drużyny uczelnianej. Z którego był najprawdopodobniej roku?

Zadanie 15#

W zakładzie znajdują się maszyny typu A, B, C produkujące odpowiednio 5%, 3% i 1% braków. Z całej masy towarowej wybieramy losowo jedna sztukę. Obliczyć prawdopodobieństwo, że:
a) jest ona brakiem,
b) pochodzi od B, jeśli nie okazała się brakiem?

Zadanie 16#

Mamy trzy kostki do gry, które zostały sfałszowane tak, że częstość wyrzucenia szóstki pierwszą kostką wynosi 20%, drugą kostką 25% i trzecią 30%. Wybieramy losowo jedna kostkę i wyrzucamy 6. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wybraliśmy trzecią kostkę.

Zadanie 17#

Wybranej grupie studentów zadano pytanie, czy ściągają na egzaminach ze statystyki. Ponieważ wielu studentów nie chciało udzielić odpowiedzi, zastosowano metodę „odpowiedzi losowej” polegającej na tym, że każdy ze studentów rzuca monetą. Jeżeli wypadnie orzeł i student nie ściąga, powinien odpowiedzieć „nie”, w pozostałych przypadkach mówi „tak”. Załóżmy, ze 30% studentów ściąga na egzaminie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba odpowie „nie” na zadane pytanie?

Zadanie 18#

Pewna drużyna futbolowa rozgrywa 70% meczów po południu, a 30% późnym wieczorem. Wiadomo ponadto, że wygrywa 50% meczów popołudniowych i 90% wieczornych. Drużyna wygrała mecz. Jakie jest prawdopodobieństwo, że był to mecz grany późnym wieczorem?

Zadanie 19#

Trzech dostawców dostarcza do punktu skupu grzyby. Dostawca I dostarczył 20% wszystkich łubianek, a w tej partii było 80% z borowikami, dostawca II dostarczył 30% łubianek wśród nich było 50% z borowikami, a wśród łubianek ostatniego było 40% z borowikami.
a) Wyznaczyć prawdopodobieństwo wylosowania łubianki z borowikami spośród wszystkich dostarczonych do punktu skupu.
b) Jakie jest prawdopodobieństwo, ze wybrana przez nas łubianka z borowikami pochodzi od I dostawcy?

Zadanie 20#

Prawdopodobieństwo tego, że w czasie pracy komputera nastąpi awaria: procesora, pamięci, urządzeń WE-WY maja się do siebie tak, jak 3:2:5. Prawdopodobieństwa wykrycia awarii w tych urządzeniach są odpowiednio równe 0.8, 0.9, 0.9. Znaleźć prawdopodobieństwo, że awaria w komputerze zostanie wykryta.

Zadanie 21#

Na 100 mężczyzn pięciu, a na 1000 kobiet dwie nie rozróżniają kolorów. Z grupy, w której jest 3 razy więcej mężczyzn niż kobiet wylosowano jedna osobę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana osoba:
a) jest daltonistą,
b) jest kobietą, jeśli jest daltonista,
c) jest mężczyzną, jeśli nie jest daltonista?

Zadanie 22#

Do pudełka włożono trzy normalne monety i jedną fałszywą, w której awers i rewers są reszkami. Losowo wyciągamy jedną monetę i rzucamy ją. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągnęliśmy fałszywą, jeśli wypadła reszka?

Zadanie 23#

Zaobserwowano, że w pewnym drzewostanie występuje 30% buka, 60% brzozy i reszta grabu. Na hubiaka pospolitego zapadło 10% buków, 5% brzóz i 1% grabów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrane drzewo:
a) jest zdrowe,
b) jest bukiem, jeśli jest chore.

Zadanie 24#

Szansa zapadnięcia na pewna chorobę wynosi 0.001. Test medyczny wykrywa chorobę u osoby chorej z prawdopodobieństwem 0.99, a w przypadku osoby zdrowej prawdopodobieństwo uzyskania wyniku dodatniego wynosi 0.02. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:
a) test dał wynik ujemny u losowo wybranej osoby,
b) osoba, w przypadku której test dał wynik dodatni, jest chora?