9. Dwuwymiarowe zmienne losowe dyskretne

Dwuwymiarowa zmienna losowa

Niech \(X\) oraz \(Y\) będą zmiennymi losowymi określonymi niekoniecznie na tej samej przestrzeni probabilistycznej. Parę \((X, Y)\) zmiennych losowych \(X, Y\) nazywamy dwuwymiarową zmienną losową lub dwuwymiarowym wektorem losowym a \(X\) oraz \(Y\) jej współrzędnymi.

Dystrybuanta dwuwymiarowej zmiennej losowej

Dystrybuantą dwuwymiarowej zmiennej losowej \((X, Y)\) nazywamy funkcję \(F\) zmiennych \(x, y\), która dla każdej pary liczb rzeczywistych \((x, y) \in \mathbb{R^2}\) przyjmuje wartości równe prawdopodobieństwu zdarzenia polegającego na tym, że zmienna losowa \(X\) przyjmuje wartość mniejszą od \(x\) i zmienna losowa \(Y\) przyjmuje wartość mniejszą od \(y\):

\[F_{XY}(x,y) = P_{XY}(X < x, Y < y)\ \text{dla} \ (x, y) \in \mathbb{R^2}.\]

\(F\) nazywamy także dystrybuantą łączną zmiennej losowej \((X, Y)\).

Własności dystrybuanty

a)

\[\forall x\in\mathbb{R} \lim\limits_{y \to -\infty} F_{XY}(x, y) = 0, \ \ \ \ \ \forall y\in\mathbb{R} \lim\limits_{x \to -\infty} F_{XY}(x, y) = 0,\]

b)

\[\lim\limits_{x \to \infty \ y \to \infty} F_{XY}(x, y) = 1,\]

c) Dla dowolnych punktów: \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\) takich, że \(x_1 \le x_2\) i \(y_1 \le y_2\) zachodzi nierówność:

\[F_{XY}(x_2, y_2) - F_{XY}(x_2, y_1) - F_{XY}(x_1, y_2) + F_{XY}(x_1, y_1) \ge 0.\]

d) Dystrybuanta jest funkcją niemalejącą i co najmniej lewostronnie ciągłą względem każdego z argumentów \(x\) bądź \(y\).

Dwuwymiarowa zmienna losowa skokowa (dyskretna)

Dwuwymiarową zmienną losową \((X, Y)\), która przyjmuje skończoną, bądź przeliczalną liczbę wartości \((x_i, y_k)\), każdą odpowiednio z prawdopodobieństwem:

\[P_{XY}(x, y) = P_{XY}(X = x_i, Y = y_k) = p_{ik} \text{ dla } i, k \in\mathbb{N},\]

przy czym \(\sum\limits_{i} \sum\limits_{k} p_{ik} = 1,\) nazywamy dwuwymiarową zmienną losową skokową (dyskretną).

Dla każdego zbioru \(A \in \mathbb{R^2}\):

\[P_{XY}((X, Y) \in A) = \sum\limits_{a_i < i}\sum\limits_{a_k < k} P_{XY}(X = x_i, Y = y_k)= \sum\limits_{a_i < i}\sum\limits_{a_k < k}p_{ik}.\]

Oznaczmy:

\[p_{i.} = \sum\limits_{k}p_{ik} \ \ \text{dla} \ \ i \in\mathbb{N}, \]

\[p_{.k} = \sum\limits_{i}p_{ik} \ \ \text{dla} \ \ k \in\mathbb{N}.\]

\(p_{i.} = P_{XY}(X=x_i, Y=y_1) + P_{XY}(X=x_i, Y=y_2)+\dots\) jest prawdopodobieństwem tego, że zmienna losowa \(X\) przyjmuje wartość równą \(x_i\), bez względu na to, którą z wartości: \(y_1, y_2,\dots\) przyjmuje zmienna losowa \(Y\), oraz, że \(\sum\limits_i p_{i.} = 1,\) a więc funkcja:

\[P_X(X=x_i)=\sum\limits_{k} P_{XY}(X = x_i, Y = y_k)=p_{i.}, \ i\in\mathbb{N}\]

wyznacza rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(X\), nazywamy rozkładem brzegowym zmiennej \(X\) w rozkładzie dwuwymiarowej zmiennej losowej \((X, Y)\). Analogicznie rozkład brzegowy zmiennej losowej \(Y\) określamy wzorem:

\[P_Y(Y=y_k)=\sum\limits_{i} P_{XY}(X = x_i, Y = y_k)=p_{.k}, \ k\in\mathbb{N}.\]

Jeśli dwuwymiarowa zmienna losowa \((X, Y)\) przyjmuje skończoną liczbę wartości, to wygodnie jest umieścić wartość funkcji prawdopodobieństwa w tabelce dwudzielczej:

\(y_k\) \ \(x_i\)	\(x_1\)	\(x_2\)	\(...\)	\(x_m\)	\(p_{.k}\)
\(y_1\)	\(p_{11}\)	\(p_{21}\)	\(...\)	\(p_{m1}\)	\(p_{.1}\)
\(y_2\)	\(p_{12}\)	\(p_{22}\)	\(...\)	\(p_{m2}\)	\(p_{.2}\)
\(...\)	\(...\)	\(...\)	\(...\)	\(...\)	\(...\)
\(y_s\)	\(p_{1s}\)	\(p_{2s}\)	\(...\)	\(p_{ms}\)	\(p_{.s}\)
\(p_{i.}\)	\(p_{1.}\)	\(p_{2.}\)	\(...\)	\(p_{m.}\)	\(1\)

Oznaczmy przez \(F_X\) i \(F_Y\) dystrybuanty rozkładów brzegowych zmiennych losowych \(X\) i \(Y\) odpowiednio. Jeśli \((X, Y)\) jest dwuwymiarową zmienną losową skokową, to:

\[F_X(x) = \sum\limits_{x_i < x}p_{i.} \ \text{ dla } \ x\in\mathbb{R}\]

\[F_Y(y) = \sum\limits_{y_k < y}p_{.k} \ \text{ dla } \ y\in\mathbb{R}\]

Dystrybuanty brzegowe

\[F_X(x)=F_{XY}(x,∞)=\lim\limits_{y→∞}F_{XY}(x,y)\]

\[F_Y(y)=F_{XY}(∞, y)=\lim\limits_{x→∞}F_{XY}(x,y)\]

Warunkowanie zdarzeniem

Dla dyskretnej zmiennej losowej \(X\) oraz zdarzenia \(A\), gęstość \(X\) pod warunkiem \(A\) jest zdefiniowana jako:

\[P_{X|A}(X=x_i)=P_{X|A}(X=x_i|A)=\frac{P_X(X=x_i, A)}{P(A)}, \ i \in \mathbb{N}.\]

Dystrybuanta \(X\) pod warunkiem \(A\):

\[F_{X|A}(x)=P_{X|A}(X≤x|A) = \frac{P_X(X < x, A)}{P(A)}.\]

Warunkowa wartość oczekiwana:

\[E[X|A]=\sum\limits_i x_iP_{X|A}(X=x_i|A).\]

Warunkowanie zmienną losową

Dla dyskretnych zmiennych losowych \(X\) oraz \(Y\), gęstość \(X\) pod warunkiem \(Y\) jest zdefiniowana jako:

\[P_{X|Y}(x_i|y_k)=P_{X|Y}(X=x_i|Y=y_k) = \frac{P_{XY}(X=x_i,Y=y_k)}{P_Y(Y = y_k)} = \frac{p_{ik}}{p_{.k}}.\]

Gęstość \(Y\) pod warunkiem \(X\):

\[P_{Y|X}(y_i|x_k)=P_{Y|X}(Y=y_k|X=x_i) = \frac{P_{XY}(X=x_i,Y=y_k)}{P_Y(X = x_i)}= \frac{p_{ik}}{p_{i.}}.\]

Dystrybuanty rozkładów warunkowych oznaczamy odpowiednio przez: \(F_{X|Y}(x|y_k), \ F_{Y|X}(y|x_i)\) i wyznaczamy ze wzorów:

\[F_{X|Y}(x|y_k) = P_{X|Y}(X < x|Y=y_k) = \sum\limits_{x_i < x} \frac{p_{ik}}{p_{.k}},\]

\[F_{Y|X}(y|x_i) = P_{Y|X}(Y < y|X=x_i) = \sum\limits_{y_k < y} \frac{p_{ik}}{p_{i.}}.\]

Warunkowa wartość oczekiwana:

\[E[X|Y=y]=\sum\limits_i x_iP_{X|Y}(x_i|y).\]

LOTUS

\[E[g(X,Y)]=\sum\limits_i \sum\limits_k g(x_i, y_k)P_{XY}(X=x_i, Y=y_k).\]

Niezależność zmiennych losowych

Zmienne losowe \(X\) i \(Y\) typu skokowego są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy

\[P_{XY}(x, y) = P_X(x)P_Y(y) \ \text{ dla każdego } \ x, y,\]

czyli:

\[p_{ik} = p_{i.}p_{.k} \ \text{ dla } \ i,k\in\mathbb{N}.\]

Równoważnie, \(X\) oraz \(Y\) są niezależne gdy:

\[F_{XY}(x,y)=F_X(x)F_Y(y) \ \text{ dla każdego } \ x, y.\]

Prawdopodobieństwo całkowite

\[P(X \in A)=\sum\limits_k P(X \in A|Y=y_k)P_Y(Y=y_k), \ \text{ dla każdego zbioru } \ A.\]

Całkowita wartość oczekiwana

Jeżeli \(B_1\), \(B_2\), \(B_3\),… są podziałami przestrzeni zdarzeń \(S\):

\[EX=\sum\limits_i E[X|B_i]P(B_i).\]

Dla zmiennej losowej \(X\) oraz dyskretnej zmiennej losowej \(Y\):

\[EX=\sum\limits_k E[X|Y=y_k]P_Y(Y = y_k).\]

Warunkowa wartość oczekiwana jako zmienna losowa

Możemy powiedzieć, że \(E[X|Y=y]\) jest funkcją \(y\) co możemy zapisać jako \(g(y)=E[X|Y=y]\). Stąd możemy myśleć o \(g\) jako o funkcji z wartościami pochodzącymi ze zmiennej \(Y\). Możemy więc napisać, że \(g(Y)=E[X|Y]\). Używamy powyższej notacji aby zaznaczyć, że \(E[X|Y]\) jest zmienną losową, której wartości są równe \(g(y)=E[X|Y=y]\) kiedy \(Y=y\). Stąd, jeżeli \(Y\) jest zmienną losową to \(E[X|Y]\) jest również zmienną losową:

\[\begin{split}E[X|Y]=\begin{cases} E[X|Y=y_1] & \text{ z prawdopodobieństwem } P(Y=y_1) \\ E[X|Y=y_2] & \text{ z prawdopodobieństwem } P(Y=y_2) \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ . \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ . \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ . \end{cases}\end{split}\]

Wzory wartość oczekiwana

\[E[g(X)h(Y)|X]=g(X)E[h(Y)|X],\]

\[E[X]=E[E[X|Y]],\]

\[E\left[\sum\limits_{i=1}^nX_i \right] = \sum\limits_{i=1}^n EX_i.\]

Dla niezależnych zmiennych losowych \(X\) oraz \(Y\):

\[E[X|Y]=EX,\]

\[E[g(X)|Y]=E[g(X)],\]

\[E[XY]=EXEY,\]

\[E[g(X)h(Y)]=E[g(X)]E[h(Y)].\]

Wzory wariancja

Dla niezależnych zmiennych losowych \(X\) oraz \(Y\):

\[Var\left(\sum\limits_{i=1}^nX_i \right) = \sum\limits_{i=1}^n Var(X_i),\]

\[Var(X|Y) = Var(X).\]

Warunkowa wariancja

Niech \(μ_{X|Y}(y)=E[X|Y=y]\):

\[\begin{split}\begin{aligned}Var(X|Y=y) &= E[(X−μ_{X|Y}(y))^2|Y=y]=\sum\limits_i (x_i−μ_{X|Y}(y))^2 P_{X|Y}(x_i) = \\ &= E[X^2|Y=y]−μ_{X|Y}(y)^2 = E[X^2|Y=y]−[E[X|Y=y]]^2.\end{aligned}\end{split}\]

Wariancja całkowita

\[Var(X)=E[Var(X|Y)]+Var(E[X|Y]).\]