Prawdopodobieństwo klasyczne

1. Prawdopodobieństwo klasyczne#

Wzór na prawdopodobieństwo klasyczne:

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|},\]

gdzie:

\(|A|\) - to liczba zdarzeń sprzyjających (moc zbioru \(A\)),

\(|\Omega|\) - to liczba wszystkich możliwych zdarzeń (moc zbioru \(\Omega\)).

Własności prawdopodobieństwa

  • Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia losowego \(A\) jest zawsze liczbą z przedziału \([0, 1]\):

\[0 \le P(A) \le 1.\]

  • Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe 1.

\[P(\Omega) = 1.\]

  • Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe 0.

\[P(\emptyset) = 0.\]

Przydatne wzory

  • Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:

\[P(A') = 1 − P(A).\]

  • Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń:

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) − P(A \cap B).\]

Ogólnie:

\[P\left(\bigcup\limits_{i=1}^n A_i\right) = \sum\limits_{i=1}^nP(A_i) - \sum\limits_{i < j} P(A_i \cap A_j) + \sum\limits_{i < j < k} P(A_i \cap A_j \cap A_k) - \ldots + (-1)^{n-1}P\left(\bigcap\limits_{i=1}^n A_i\right)\]

  • Prawa De Morgana:

\[(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n)' = A_1' \cap A_2' \cap ... \cap A_n',\]
\[(A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n)' = A_1' \cup A_2' \cup ... \cup A_n'.\]

  • Prawo dystrybucji:

\[A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C),\]
\[A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C).\]

Kombinatoryka

  • Kombinacja pozwala policzyć na ile sposobów można wybrać k elementów z n-elementowego zbioru. Wzór na kombinację jest następujący:

\[C^k_n = \frac{n!}{k!(n − k)!}.\]

Kombinacje zapisujemy krótko za pomocą symbolu Newtona:

\[{n \choose k} = \frac{n!}{k!(n − k)!}.\]

  • Kombinacje z powtórzeniami pozwala policzyć na ile sposobów można wybrać k-elementowy multizbiór złożony z elementów danego zbioru n-elementowego. Liczba k-elementowych kombinacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego wyraża się wzorem:

\[\bar{C}_n^k = {k + n - 1 \choose k} = \frac{(k + n - 1)!}{k!(n-1)!}\]

  • Permutacja bez powtórzeń zbioru n-elementowego to dowolny n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru. Liczbę permutacji zbioru n-elementowego możemy obliczyć ze wzoru:

\[P_n = n!.\]

  • Permutacja z powtórzeniami zbioru n-elementowego z powtarzającymi się elementami to dowolny n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru. Liczbę permutacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego, gdzie element \(a_1\) powtarza się \(n_1\) razy, …, \(a_k\) powtarza się \(n_k\) razy możemy obliczyć ze wzoru:

\[P_n^{n_1,...,n_k} = \frac{n!}{n_1!...n_k!}.\]

  • Wariacja z powtórzeniami. Przyjmijmy, że mamy dany zbiór elementów. Wariacja z powtórzeniami pozwala na utworzenie ciągu z elementów tego zbioru, z tym, że dopuszcza powtarzanie elementów. Wzór na wariację z powtórzeniami jest następujący:

\[W^k_n = n^k.\]

  • Wariacja bez powtórzeń. Przyjmijmy, że mamy dany zbiór elementów. Wariacja bez powtórzeń pozwala na utworzenie ciągu z elementów tego zbioru, z tym, że nie dopuszcza powtarzania elementów. Wzór na wariację bez powtórzeń jest następujący:

\[V^k_n = \frac{n!}{(n − k)!}.\]

Metoda bootstrap

Jest to metoda estymacji polegająca na wielokrotnym losowaniu ze zwracaniem z próby. Jest przydatna gdy nie wiemy z jakiego rozkładu pochodzą zmienne losowe. Przykład użycia tej metody do oszacowania prawdopodobieństwa będzie pokazany w kilku zadaniach.